2017
檩子：开学在即，爹妈的眼光又开始转向学习。最近不少花友希望我们多提供一些和学科学习策略有关的内容。
语数外三科中，大家最操心的还是数学：
英语有非常成熟的“原版路线”，小学毕业前实现“英语自由”，照着做就可以了（实践攻略小花生app上应有尽有）；
- 语文有点像“玄学”，不容易把握也就顺其自然了；
- 而数学这门课，学得好，在中国的考试升学体系里占有极大优势；换言之，如果掉链子，因而后果也有点严重。
普通家庭怎么“鸡”娃数学？今天请来一位非常懂得教人数学的“大牛”，跟我们做一手访谈：数学怎么学，奥数学不学？
这位大牛就是咱们的花友@昍爸（读音：xuān），中国科学院计算机博士、前南京师范大学计算机教授，可谓“根正苗红”的数学教育专业人士。
自己数学也特别好：在初中和高中时曾获得全国数学奥林匹克联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考数学考了满分。
现在家有两位小朋友（6岁和13岁），对怎么教孩子数学，也有不少实践心得。还曾利用业余时间撰写文章，普及奥数与数学教育，著有《给孩子的数学思维课》等书。
这本书获得了科技部2020年全国优秀科普作品奖，得到了院士、长江学者、杰青等多位科学家的推荐。公众号：昍爸说数学与计算思维
最近我们特别采访这位数学教育专家，请他来谈谈孩子怎么学好数学。
访谈涉及12个问题，涉及数学学习兴趣和思维培养、校内各阶段数学学习，奥数进阶等一系列经验和建议。今天，咱们一起来看！
01
数学竞赛第一名，高考满分！
很好奇，您自己是如何开启数学启蒙的？
昍爸：哈哈，确实不少人对我的数学启蒙经历很好奇。
我小时候读的是正儿八经的村小，没有受过任何校外数学训练。在村小读书时，有一年教我们数学的是代课教师。印象最深的是有一次我在课上听着听着就发现老师讲错了，于是举手指出他的错误。
在争论中老师很生气，赶我出去，我立马收拾书包跑回家了，整整三天都没有上学。后来老师让同学来劝说……我这才重新回到了学校。现在回想起来，这种敢于质疑的精神非常可贵，敢于质疑老师、质疑书本。
小时候虽然没有玩具，但我从小特别喜欢干两件事——玩扑克和下象棋，那时经常和小伙伴们一起打牌下棋。这两项活动对于训练逻辑思维和数学能力都能起到非常好的作用。
比如，棋类游戏除了需要局部的最优策略取得局部战斗的胜利，更需要有全局观，也就是数学上讲的整体思维
我觉得在我的学习过程中，没有学习过什么套路。那为什么最后高考数学能得满分呢？其实这本是个假问题。习惯于学套路才难以得满分，而远离套路才有可能走得更远。
我没有奥数启蒙老师，压箱底的解题秘诀就一条：把“题型没见过”当成一种常态，从简单开始、从特殊开始、从错误开始，从简单到复杂，从特殊到一般，从错误到正确。如果非要用高大上的语言来贴个金，那就是归纳推理和类比推理。演绎推理是后来慢慢才习得的一种能力。
02
接下来的问题，都是关于孩子的数学学习了。
首先，可以怎样在生活中引导孩子发现有趣的数学（能不能举几个例子）
昍爸：数学源于生活，高于生活，又回归生活。生活中的数学孩子看得到摸得着，解决生活中的数学问题也能培养孩子的数学兴趣，提升孩子的成就感。
其实，我在《给孩子的数学思维课》里面讲了很多这方面的例子，比如：坐飞机时，为什么飞机的往返飞行时间不一样？小学门口接孩子的标牌为什么要那么设计？抽五张牌，抽到顺子和同花的可能性哪个更高？
这些问题能激发孩子的好奇心，一旦好奇心起来了，去搞清楚背后的原因是顺理成章的事。
但引导并不容易，我建议家长可以从三个方面来尝试：
1、重视生活中的巧合
巧合最能激起人的神秘感，从而引发探索行为。而且，巧合在生活中无处不在。
隐藏在巧合背后的原因有两种：一种其实不是巧合，而是必然，那背后就有它的原理；另一种则是概率。我讲过一个自己生活中碰到的案例。
之前我家住在18层的第5层，有一次我要下楼，发现楼里的两个电梯分别停在1楼和9楼。因为1楼和9楼的电梯距离我的层数相同，我就会琢磨到底是哪个电梯来接我。
很多人认为是9楼，但事实是1楼的电梯来接我了，而且它不是偶然，这个事件连续出现了四五次，每次都是1楼的来接我。
那我自然就会思考：1楼的电梯来接我有没有什么好处？
事实是有的，因为1楼的电梯接完我后两个电梯依然是位于1楼和9楼，而如果是9楼的来接我，接完后两个电梯均位于1楼，显然后者是不好的状态，不利于高楼层的用户。
2、注重观察生活
华罗庚先生说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。这充分说明了数学与生活的高度融合。
我们2022年的新课标对数学核心素养的要求是这么说的：
会用数学的眼光观察现实世界；
会用数学的思维思考现实世界；
会用数学的语言表达现实世界。
可以看到，“核心素养”高度强调数学和现实世界的紧密联系。
事实上，历史上一些数学学科的发展和一些难题的提出，也来源于生活。
比如几何学的发展就始于尼罗河流域的人们对土地测量的需求，拓扑学的创立起源于哥尼斯堡散步的人们提出的七桥问题，而四色问题则来自于一名地图着色工作人员的观察和总结。
四色原理：一张地图，如果用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同
我举个照片打印机的例子。之前我买了个照片打印机，孩子发现在打印过程中，相纸会先后进出三次。
第一次出来，相纸上离散地覆盖上了不同明亮度的黄色，第二次出来时，相纸在黄色上的基础上叠加了粉红色，最后一次出来，完整的照片就打印好了。
这背后其实就是离散化表示的数学问题。
3、注重数学实验
很多人认为实验是物理、化学的事，数学只要脑子想就行，其实不然。数学实验能增加感性认识，对孩子也更具吸引力，另外实验过程中的试错也是一种可贵的经历。
比如布丰投针实验，怎么就跟圆周率有关系呢？很多人不信，但通过实验统计后却不得不接受这个结论，然后自然会激发一些人思考的热情。
布丰投针实验：设我们有一个以平行且等距木纹铺成的地板（如上图），随意抛一支长度比木纹之间距离小的针，求针和其中一条木纹相交的概率。并以此概率，布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法。
还有上面提到的四色问题，也有不少人不相信这个结论，希望能找出一个图至少要用五种颜色才能涂色。这个过程就是一种探索，当然其中会出错，但我们要鼓励。
03
家长平常能做些什么，帮助孩子养成数学思维？
昍爸：家长如果有能力，可以在生活中多引导；如果苦于没有案例，那可以在类似《给孩子的数学思维课》这样的书里寻找一些合适的案例。
家长如果本身没有能力引导，那就多听一些专业人士的建议，给孩子创造一些自我探索的机会。千万不要听信市面上一些虚假和错误宣传把孩子往歧途上领，特别是把孩子的时间都塞满。
我很喜欢一种说法：孩子的大脑不是一个等待填充的容器，而是一支期待点燃的火把。数学思维的培养是一个长期的过程，没有捷径。凡是那些鼓吹速成的，都要警惕。
另外，现在的数学游戏有许多，可以带娃在玩中学。比如计算类的24点，多点妙算，心算大师、美国跳棋等；几何类的七巧板，数学折纸，磁力方块等；逻辑类的数独、汉诺塔、九连环等。
通过美国跳棋里的两个骰子，自然就能把20以内的加法练好了
04
上了中小学后，怎样脱离“死算”和记公式做题，
真正养成数学思维模式解题？
昍爸：“死算”这个说法不好。所谓“死算”我的理解是笨办法，我是鼓励要去经历的。碰到一个问题，首先要想想用最笨的办法能不能做出来，这个实际上是对自己能力的一种评估。
当然，起于“死算”，但不能止于“死算”。要习惯于在“死算”后复盘和总结：“死算”的方法适用性如何，可扩展性如何？
在复盘的过程中，看看有哪些地方是可以优化的，如果扩展性很差，那就要跳出来再思考一下能不能换个角度，有没有更好的方法。
只有经历这个过程，思维的提升才是实实在在的。我们日后解决问题也都是从最笨的办法开始逐步优化，一般不会一次性就找到最好的办法。
另外，如果只记得公式和结论肯定不是学习数学的好方法。公式和结论要记，但更要知道公式和结论的适用条件，以及结论的推理过程。
比如很多孩子在培训机构记住了一个结论“差小积大”，但却忘了前提条件，也就是要“和固定”。
从而，在做类似于下面这样的问题时就容易出错：
有12根长1米的棍子，现在要就着一面围墙圈一个长方形，请问圈出的面积最大是多少？
05
在学习数学这门学科时，
小学、初中、高中，不同阶段的重点是什么？
昍爸：好的，那我分阶段来说说：
1、小学数学，以数、形、计算和应用为主
小学阶段的东西基本都是我们日常能碰得到和用得上的。
这个阶段，我们可以在学习的数学知识和生活场景之间建立密切的联系，用形象和生动的案例来加深孩子对数学知识的理解。
同时，除了要把计算基础打牢，把基本概念理解清楚，更要把学到的东西应用于解决现实中的问题，这也就是小学阶段有很多应用题的缘故。
当然，除了知识本身，类比和归纳是小学阶段需要重点培养的元能力。比如，买水果的时候，我们都会先试吃一下，吃了觉得好才会购买，这就是一种归纳思维。
新版小学数学课本中关于计算的部分
2、初中数学，更注重是逻辑思维和抽象思维
比如，代数方面从具体的数的运算过渡到了用符号表示的多项式运算，几何方面从计算周长和面积等具体的应用过渡到了纯粹的演绎推理证明。特别是几何证明，它对学生建立公理化体系、形成逻辑思维、提升思维严密性很重要。
不过就知识点而言，初中阶段的数学相对于高中来说还是比较少的。在这个阶段，课上学的数学知识点距离我们的日常生活就远了一点，我们要稍微站得高一点，理解整个初中数学的体系。
比如，在数的方面，要理解从自然数到实数的数系扩充过程；在几何方面，要了解平面几何的公理化系统。
初中数学，常见一些几何证明
3、高中数学，高度抽象是其代名词
整个高中阶段数学的体系性和抽象性明显加强，体现在概念的抽象、体系的完备、思维的高度。比如数，从实数进一步扩充到了人造的复数域，虚数的英文叫imaginary number，意思是存在于想象中的数。
高中开始出现的虚数i
引入虚数仅仅是为了解决运算的完备性，它在我们的生活中本来是不存在的！类似于集合、映射、函数等概念也都是抽象的知识，在平时生活中基本上用不到，因此理解的难度一下子就上升了。
比如，初中阶段也学习函数，但无论是一次还是二次函数，都可以直观地表示在坐标系中，还是可以看得见摸得着的；但高中一下子就从集合和映射的角度抽象概括出函数的本质，有解析式的函数类型也是五花八门，更有对于无解析式的抽象函数性质的研究。
集合与映射
相比于初中数学，高中数学的节奏也明显加快。初中数学，往往在某一个知识点上停留较长时间，相同题型可以给较多的时间反复训练，而高中数学内容多，一个主干众多枝丫，例如，高一讲了集合之后，接着讲函数，函数的定义域、值域、函数关系、函数的单调性、奇偶性……接踵而来，没有时间作过多的停留。
与初中数学相比，高中数学的灵活性和难度也明显加大。如果说初中数学还能靠总结知识点和反复训练相同题型拿高分的话，高中数学重复刷题的效果会大打折扣。
要想学好高中数学，一定要注重理解和分析，理解清楚概念的本质内涵，搞透概念与概念之间的联系，遇到问题基于逻辑分析而不是套用题型。很多人初中数学能考个不错的分数，到了高中就直线下滑，就是学习方法不当和分析问题能力欠缺所致。
06
孩子不喜欢计算怎么办？
如何提高计算能力？
昍爸：计算肯定枯燥是肯定的，但计算关必须要过。初中、高中的计算量会很大，不过计算关会吃大亏。
幼儿阶段可以通过玩一些游戏来提升计算能力，比如24点；还有一些计算的桌游，如心算大师。我专门在公号里写过一篇文章《玩出来的计算能力：普娃的计算进阶路线图》，有兴趣的也可以去翻一翻。
通过”怪兽袜子工厂“这个桌游来锻炼“99乘法”
07
消化新的数学题型时，短时间内的大量练习（即刷题），
会有帮助吗，该怎么把握这个度？
昍爸：刷题肯定会有帮助，所谓勤能补拙嘛，这一点年级越低，效果越明显。
但到了高中，刷题对成绩的提升效果就存在边界递减效应了。因为高中的题型变化大，出现相同题型的概率越来越小，这时候就需要能以不变应万变，切切实实提高自己分析问题的能力，把做过的每一道题吃透，做到举一反三和融会贯通。
08
当娃数学学有余力时，要不要提前学？
昍爸：关于提前学的问题，这个其实不好回答。
因为孩子的大脑发育和认知是有共性规律和个性特点的，我们的教材编排是以大部分孩子的大脑发育和认知规律为基础的，但具体到每个孩子又有其特殊性。
有些孩子的大脑发育得早，可以被称为早慧，那提前学没有问题，毕竟小学的数学知识还是以具象思维为主，提前一两个学期甚至两三年都有可能。
《心灵捕手》剧照，电影主角是个数学天才
但如果抽象思维还没有形成就试图去学习比较抽象的数学知识，那是有问题的，我就见过一些小学中年级就号称自学初中数学的孩子，不少基本概念的理解就有问题。
这个时候，家长一定要对自己的孩子有一个客观的判断，切勿随波逐流。当然，如果抽象思维形成了，那后面的数学学习进度适当加快是可以的。
09
09
大家都说学奥数，要智商高才可以，你怎么看？
几年级开始学奥数比较好？
昍爸：第一个问题其实从数学上来说是原命题和逆命题的关系。原命题正确，逆命题不一定正确。一般来说，奥数学得好的智商都不差；但反过来，智商高的不一定能学好奥数或者说数学。
其实我们不需要全民奥数，普娃先把课内数学学好，适当做一下提升就可以。
家长们自鸡奥数，首先也要在方向上要搞明白：什么是奥数？大方向搞错了，再努力也白搭。
我比较认同最近热播的电视剧《天才基本法》里老林的一段说法：奥数是在你们遇到困难的时候，让你们放弃那些高阶的工具，像那些先贤一样，用突破性思维解决问题的方法。
最近很火的关于奥数的电视剧《天才基本法》
但现在市面上有不少“奥数”教材和课程则恰恰相反，热衷于知识下放，用高阶的工具去解决问题。
至于说几年级开始，我觉得什么时候开始都不晚，具体看个人资历和意志。有人努力三年也抵不上其他人潜心修炼三个月。但至少有一点，孩子得愿意“想”，会“想”，外加一股韧劲。如果不具备这些品质，就先不要学奥数了。
10
小学三四年级，家长们自鸡奥数可以怎么做；
有什么方法、教材和资源推荐吗？
关于突破性思维的培养，小学阶段可以看我的《给孩子的数学解题思维课》，配合一本习题册，比如《高思导引》，题目可以从三星的开始，如果觉得简单，三星的可以少做一点，尝试四星的，有余力的可以挑战一下五星的。
我最怕听到家长对孩子说的就是：这类题型掌握了吗？如果学奥数最终变成比拼谁见过的题型多，那不如不学。林群院士讲的一句话值得大家思考：少则多，多则少。
做题不在多，在于学会思考，学会想，了解到“想”的力量。重要的不是记住那些数学公式和做题快慢，重要的是“想”的过程。
做题的时候，最好把《给孩子的数学解题思维课》里提到的解题闭环整个一套方法应用到实战中，这样的效果会倍增，真正做到触类旁通，一通百通。
11
高年级学奥数：
除了报班找老师，找资料，家长可以怎样助力孩子的奥数学习？
尤其是年级高了，题目家长也不会做，靠孩子自学可以吗？
昍爸：中学阶段，则可以看波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》。
波利亚是美国著名数学家，他发现的波利亚计数定理是近代组合数学的重要工具；他还是杰出的数学教育家，他对数学思维一般规律的研究贡献极大，这本书就是其对数学思维研究的集大成。
小学高年级的题目不会做的家长，最好在中低年级也不要指导孩子具体的学习。很多时候，自己原本不正确的学习方法会潜移默化地影响孩子。
如果孩子能力强，自学也不是不可以，但一定要遵循“观察、发现、猜想、论证”这一理性思维的范式。不过建议还是找有经验的老师带一下，有名师指点会事半功倍。
都说师傅领进门，修行在个人。很多人说学生最后能达到的学习高度，学生占70%，教师占30%。但这不是说教师不重要，名师的作用是不可忽视的。
电影《为人师表》剧照
你看郭靖，跟着江南七怪的时候，柯镇恶就是他的天花板，但得到了洪七公等名师的指点后，只有他自己才是自己的天花板。
12
最后，作为一个也在一线辅导娃的父亲，
您在带娃学数学，或学习上有什么心得想和大家分享吗？
昍爸：带娃心得的话，大概有这样几条：
1、父母不要成为解决问题的“庸医”
在数学学习上，考试成绩差这一症状的原因各种各样：语文理解能力欠缺，粗心（包括看错题、看漏条件、计算错误、答案誊写错误等），列式不合理，最后才是真正不会做。
但消除病因的手段却相去甚远。碰到问题，很多父母的做法就是给孩子做加法，但有时候恰恰适得相反。
这时，不妨尝试做做减法。有段时间，我就主动和老师沟通，请求老师允许孩子少做作业。给孩子做减法，需要我们做父母的有足够的胆略和勇气。
2、不要只重视做错的题，在做对的题上也要花功夫
大家都知道用错题本去强化错题的订正，但很少有人会对孩子做对的题给予额外的关注。我的做法则有别于大家：无论是正确的还是错误的题，只要有价值，都要给予同等的重视。
即便是做对的题，也要引导他从多角度思考，并比较各种方法的优劣，并通过改变前提达到举一反三的效果。有时，甚至要鼓励标新立异，发散孩子的思维。
3、成为孩子兴趣的放大器和助推器
大家可能经常会发现孩子关注或沉迷与一些大人眼中与学习成绩无关的”不务正业“的事情。此时，如果粗暴地勒令其停止将会是一种糟糕的做法。低年级的孩子能够独立专研一件事情难能可贵。
你会发现，由好奇心和兴趣驱动的学习专研能让孩子在短时间内迅速了解一个领域，甚至成为在这一方面胜过大人的“小专家”。这一快速学习能力恰恰是孩子日后所需要的。父母应该成为孩子兴趣的放大器和助推器，而不是灭火器。
图是昍爸孩子自己用乐高组建的主机
最后想说，即便是错的，也要允许孩子充分表达自己的想法，并从中洞悉孩子的逻辑，分析他理解里正确的和错误的成分，从而真正因地制宜的引导。
- the end -
这位“数学专家爸爸"的想法做法
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